关键词:
Cantor-Moran测度
谱测度
谱特征值
连续型数字集
摘要:
设μ为Rd上具有紧支撑的Borel概率测度.如果存在集合Λ使得指数函数族{e2πilt;λ,xgt;:λ∈Λ}为L2(μ)的规范正交基,则称μ为谱测度,集合Λ为测度μ的谱.随着谱测度理论的不断发展,与其相关的问题已经成为分形几何与调和分析交叉研究的热点课题之一. 本学位论文主要研究自相似测度的谱特征值问题以及Rd中Cantor-Moran 测度的谱性. 全文共分为六章,在第一章中,主要介绍谱测度理论研究的背景,动机和现状,并列出本论文的主要结果.在第二章中,主要介绍一些本论文必要的预备知识. 在第三章中,我们考虑Rd上的Cantor-Moran测度μ{An,Dn}成为谱测度的充分条件. 我们首先给出一些Rd上的谱和非谱测度的一般刻画. 作为一个简单的应用,我们给出勒贝格测度限制在[0,1]d上,或者是限制在[0,1]+{0,a,b}上成为谱测度的证明. 最后, 对由相容对序列生成的Cantor-Moran 测度μ{An,Dn}, 我们给出它成为谱测度的充分条件,并发现许多从前的关于谱测度的证明可以得到简化. 在第四章中,对一维连续型Cantor-Moran测度μ{bn,DNn},我们证明μ{bn,DNn}是谱测度当且仅当对所有的n≥2都有Nn|bn. 这一结果证明了Lai和Wang的猜想[88]. 在第五章中, 对一维空间上具有连续型数字集的自相似测度μkb,D,其中D=k{0,1...,b-1}. 令Λ =?{?∑nj=0(kb)jcj,cj∈C={0,1,...,b-1},n≥1?}. Dai, He和Lai [14]已经证明了Λ为μkb,D的一个谱.本论文致力于刻画整数p使得pΛ也为μkb,D的谱. Wu和Zhu对p为素数情形做了部分刻画[126]. 本论文去掉了p为素数的条件,考虑p为一般整数的情形. 在第六章中,我们提出了一些后续想要进一步研究的问题.