关键词：
有限可解群
连通特征标素因子图
割点
Fitting高
摘要：
对给定有限群G,cd(G)表示G的所有复不可约特征标次数所构成的集合,ρ(G)是指cd(G)中元素的所有素因子的集合.按以下方式定义G的特征标素因子图Δ(G):取ρ(G)为其顶点集,ρ(G)中的两点p与q相邻当且仅当存在a∈cd(G)使得pq|a.利用特征标素因子图研究群结构是群表示论中的重要课题.国内外学者关于这一课题的研究取得了许多重要结果.若有限群G的特征标素因子图Δ(G)连通,则称G是连通群;反之,则称G是非连通群.相应地,若有限群G的特征标素因子图Δ(G)是1(2)-连通图,则称G是1(2)-连通群,特别地,当G可解时称G是1(2)-连通可解群.本文对部分连通的特征标素因子图与相应的有限可解群进行了研究,给出了 Fitting高为2的1-连通可解群的刻画.进一步,对割点p所对应的Sylow子群正规的1-连通可解群,给出了相关的结构信息.并且在此情况下,证明了其满足Gluck猜想,Isaacs-Navarro-Wolf猜想和Taketa不等式.结果如下:定理3.1设G为有限可解群,ρ(G)=π∪π∪{p}是其特征标素因子图Δ(G)的顶点集,其中|π|,|π|≥1,且π与π中的顶点不相邻.设h(G)=2,则:(1)G是p-幂零的,并且G的正规p-补是Fitting高为2的非连通群;(2)存在一点q∈π∪π,使得G有正规非可换的Sylowq-子群,且若设q∈π,则π={q};(3)存在π中的点s,使得p与s相邻;(4)Δ(G)连通当且仅当以下之一成立:(a)G的Sylow p-子群P非可换;(b)存在Q的一个非线性不可约特征标θ,使得P不稳定θ,其中Q是G的Hall π-子群;(c)A×O(G)(?)Z(G),其中A是G的所有正规可换的Sylow子群的直积.定理3.2设G是1-连通可解群,Δ(G)的割点为p,且p所对应的G的Sylow p-子群P正规,令L为G的Hall p’-子群.则以下成立:(1)G/P’是非连通群;(2)若G/P’不是第4类非连通群,则G=P×L,其中L与G/P’属于同一类非连通群;(3)若G/P’为第4类非连通群,设G/P’=V(?)H,其中V和H对应第4类非连通可解群中的V和H.则:①当V(?)P/P’时,有G=P×L,且L为第4类非连通群;②当V≤P/P’时,以下(a)(b)成立:(a)cd(G/Z)=cd(G),其中 Z=C(P)≤Z(G);(b)令V=P/P’,G=PL,则或者Δ(G)=Δ(G)且直径为2,或者Δ(G)不连通,且G1是第4类或第6类非连通群.定理3.3设G是1-连通可解群,且G有正规的Sylow p-子群P,其中p为Δ(G)的割点.则以下成立:(1)|G:F(G)|≤b(G);(2)V(G)≤F(G);(3)dl(G)≤|cd(G)|.此外,在1-连通特征标素因子图的基础上,我们进一步考虑了一类2-连通图.在定理4.1的基础上,证明了相应可解群G的Fitting高至多是4.定理4.1设G是可解群,ρ(G)=π∪{p,q},其中π∩{p,q}=(?),|π|≥1.若p与q在Δ(G)中不相邻,并且G有可换的Hall π-子群.则G的Fitting高至多是4.定理4.2设G是可解群,ρ(G)=π∪π∪{p,q},其中π,π非空,且π,π,{p,q}互不相交.若在Δ(G)中p,q不相邻且π中的点与π中的点也不相邻.则G的Fitting高至多是4.
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