关键词:
H(?)rmander条件
齐次H(?)rmander算子
Dirichlet特征值
次椭圆热核
奇点消解
凸几何
Folland-Stein空间
摘要:
设Rn中线性无关的H(?)rmander向量场X1,X2,…,Xm满足一定的非各项同性齐性条件,这类向量场叫做齐次H(?)rmander向量场.设Ω为Rn中包含原点的有界连通开集.本文主要研究由齐次H(?)rmander向量场构建的H(?)rmander算子ΔX=∑j=1mXj2在Ω上的Dirichlet特征值.应用次椭圆热核估计,代数几何中的奇点消解定理,以及凸几何中的相关技巧,我们建立了 Dirichlet特征值λk的精确同阶渐近λk≈k2/Q0(ln k)-2d0/Q0(当k→+∞时).这里Q0是一个正有理数,d0是一个不超过n-1的非负整数.此外,我们还给出Q0在齐次H(?)rmander向量场条件下的最佳的上下界估计.本文一共分为七章,分别如下:第一章我们先回顾了退化椭圆算子的历史,同时给出了齐次H(?)rmander向量场和齐次H(?)rmander算子的定义.接着我们介绍了经典椭圆算子和退化椭圆算子的特征值的研究状况.最后给出本文的主要结论.第二章详细介绍了齐次H(?)rmander向量场的几何性质.同时基于齐次H(?)rmander向量场的齐性维数这一重要的几何量,我们讨论了齐次H(?)rmander向量场的分类.第三章我们引出了 Folland-Stein空间.此类空间是研究H(?)rmander型算子相关的空间.我们在本章讨论了 Poincaré不等式,链式法则以及稠密性定理.其中稠密性定理是依赖于向量场的齐次性得到的.第四章我们利用Dirichlet型和热半群的理论,给出了自伴齐次H(?)rmander算子的Dirichlet次椭圆热核和全局次椭圆热核.我们给出了对应热半群算子的局部L∞估计,进而得到了热核的存在性.接着,基于全局次椭圆热核的Gaussian上下界估计,我们得到了两个对角次椭圆热核之差在Ω上的小时间上下界估计.第五章中,我们用代数几何中的奇点消解定理以及凸几何中的相关结论,给出了积分I(r):=∫Ωdx/|BdX(x,r)|当r→0+时的估计.这里BdX(x,r)为齐次H(?)rmander向量场给出的Carnot-Carathéodory度量诱导的球.对于具体的齐次H(?)rmander向量场,由本章给出的结论,我们可以精确地计算出I(r)的显式同阶渐近公式.第六章我们综合以上的内容,给出了主要定理的证明.由第二章和第四章的结论,我们得到了 Dirichlet次椭圆热核的对角积分∫ΩhD(x,x,t)dx在t→0+时和I((?))是同阶渐近的.由第五章的结论,我们给出了I((?))的显示渐近公式I((?))≈tQ0/2|ln t|d0(t→0+).最后综合以上讨论我们得到特征值的同阶渐近λk≈k2/Q0(ln k)-2d0/Q0(t→0+).作为主要定理的应用,第七章我们给出一些经典的例子.其中一些例子证明了,我们得到的指标Q0的范围在齐次H(?)rmander向量场的条件下是最佳的.另外还特别列举出一个例子表明,指标Q0并不一定是整数.