关键词:
Steklov特征值问题
间断Galerkin有限元
协调有限元
非协调CR有限元
先验误差估计
后验误差估计
自适应算法
摘要:
本文研究求解Steklov型特征值问题的有限元法,主要内容包括:反散射中的Steklov特征值问题,线弹性Steklov特征值问题,流固耦合中的Steklov特征值问题,以及修正的内部传输特征值问题.
第一,研究反散射中的Steklov特征值问题的间断Galerkin(DG)有限元法.探讨一个完整的误差估计,包括改进的先验误差估计和后验误差估计,并利用浓缩算子和提升算子证明特征函数的后验误差估计子是可靠的和有效的,并分析估计子对特征值误差估计的可靠性.在二维、三维区域,自适应模式下的数值试验可以达到最优收敛阶,它们与理论分析相吻合.
第二,研究线弹性Steklov-Lam′e特征值问题的一种Nitsche格式的DG有限元法.在低正则性条件下推导出与Lam′e参数无关的先验误差估计,从而证明DG法对该问题是无闭锁的.并在不同区域中改变Lam′e参数进行数值试验,从而验证该方法的有效性和鲁棒性.
第三,研究流体-固体耦合的Steklov特征值问题的非协调CrouzeixRaviart(CR)有限元法.结合源问题的误差估计和低模意义下的算子收敛推导出先验误差估计,并证明残差型后验误差估计子具有可靠性和有效性.理论分析和数值试验均表明CR元特征值是准确特征值的一个下界.
第四,研究反散射中修正的内部传输特征值问题的协调有限元方法.Gintides称该问题是一个新的Steklov特征值问题.在完全合理的解的低正则性假设下,对于超材料情况和自然情况,利用G?arding不等式和T强制性技巧对该问题进行了完整的误差分析和证明.理论分析和数值试验均表明后验误差估计子是可靠且有效的.试验部分还说明协调元特征值从下方逼近准确值,并且逼近可以达到最优收敛阶.